TY - BOOK ED - Universitat Oberta de Catalunya. TI - Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria PY - 2016/// CY - Barcelona PB - Universitat Oberta de Catalunya KW - Matemáticas KW - Enseñanza universitaria KW - Libros electrónicos N1 - Los números naturales _________________________________________________ 8 ¿Qué es un número natural? _______________________________________________________ 11 ¿Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? ____________________________ 11 ¿Qué son y para qué sirven los paréntesis? ___________________________________________ 12 ¿En qué orden deben realizarse las operaciones? _______________________________________ 12 ¿Qué problema encontramos en las operaciones entre números naturales? ___________________ 13 ¿Qué son los múltiplos y los divisores? ______________________________________________ 13 ¿Cuáles son las propiedades de los múltiplos y divisores? _______________________________ 14 ¿Cómo saber si un número es múltiplo (o divisor) de otro? ______________________________ 14 ¿Qué es un número primo? _______________________________________________________ 15 ¿Como se descompone un número natural en factores primos? ___________________________ 15 ¿Qué es y cómo se halla el máximo común divisor o mcd? _______________________________ 16 ¿Qué es y cómo se halla el mínimo común múltiplo o mcm? _____________________________ 16 Los números enteros __________________________________________________ 17 ¿Que es un número entero? _______________________________________________________ 20 ¿Cómo están ordenados los números enteros? _________________________________________ 20 ¿Qué es el valor absoluto de un número entero? _______________________________________ 21 ¿Cómo se representan los números enteros en una recta? ________________________________ 21 ¿Cómo se realizan la suma y la resta entre números enteros? _____________________________ 22 ¿Siempre significan lo mismo los signos + y –? _______________________________________ 23 ¿Cómo se realizan la multiplicación y la división entre números enteros? ___________________ 23 ¿Cómo afectan las operaciones al orden de los números enteros? __________________________ 24 Los números racionales ________________________________________________ 26 ¿Qué es un número fraccionario? ___________________________________________________ 29 ¿Cuál es el signo de una fracción? __________________________________________________ 29 ¿En qué casos dos o más fracciones son equivalentes? __________________________________ 30 ¿Qué es una fracción irreducible? __________________________________________________ 31 ¿Qué es un número racional? ______________________________________________________ 31 ¿Cómo se realiza la suma de fracciones con el mismo denominador? _______________________ 32 ¿Cómo se realiza la suma de fracciones con distinto denominador? ________________________ 32 ¿Cómo se reducen las dos o más fracciones de una suma al mismo denominador? ____________ 33 ¿Cuáles son las propiedades de la suma de fracciones? __________________________________ 34 ¿Cómo se realiza la resta de fracciones? _____________________________________________ 34 ¿Cómo se realiza la multiplicación de fracciones y cuáles son sus propiedades? ______________ 35 ¿Cuáles son las propiedades del producto de fracciones? ________________________________ 35 ¿Cómo se realiza la división de fracciones? __________________________________________ 36 ¿Cuál es el orden en el que deben realizarse las operaciones elementales entre fracciones? ______ 36 ¿Qué es la forma decimal de un número racional? _____________________________________ 37 ¿Cómo se aproxima un número racional por un número decimal? _________________________ 38 ¿Cómo se ordenan los números racionales en una recta? ________________________________ 38 Potencias y raíces _____________________________________________________ 40 ¿Cómo se realiza la potenciación de números y cuáles son sus propiedades? _________________ 43 ¿Cuáles son las características de la potenciación de números enteros? _____________________ 44 ¿Cuáles son las características de la potenciación de números fraccionarios? _________________ 44 ¿Cómo se simplifica una expresión con potencias del tipo 25 ⋅ 8 ⋅ 7 7 ⋅ 5 4 3 5 ⋅ 25 2 ⋅ ( − 5 ) .49 3 3 ? ____________ 45 ¿Qué es y cómo se calcula la raíz de un número? ______________________________________ 45 ¿Cuáles son las propiedades básicas de la radicación? __________________________________ 46 ¿Cómo pueden expresarse de manera general las propiedades de las potencias y raíces? ________ 47 ¿Cómo se simplifica una expresión del tipo 3 4 4 8 ? __________________________________ 48 27 ¿Qué es la racionalización de fracciones? ____________________________________________ 48 Los números reales ___________________________________________________ 49 ¿Existen números que no sean racionales? ___________________________________________ 52 ¿Cómo puede demostrarse que 2 no es un número racional? ___________________________ 52 ¿Existen otros números irracionales que no sean raíces? _________________________________ 53 ¿Qué es la notación científica y para qué sirve? _______________________________________ 55 ¿Qué es un número real? _________________________________________________________ 56 ¿Cuáles son las operaciones básicas entre números reales y sus propiedades? ________________ 57 Los números complejos ________________________________________________ 59 ¿Qué es un número complejo? _____________________________________________________ 62 ¿Cómo se representa un número complejo? ___________________________________________ 62 ¿Son necesarios los números complejos? ____________________________________________ 63 ¿Cómo se representan las potencias de i? ____________________________________________ 63 ¿Cómo se calculan el opuesto y el conjugado de un número complejo? _____________________ 64 ¿Cómo se realizan la suma y la resta entre complejos? __________________________________ 65 ¿Cómo se realiza el producto de números complejos? __________________________________ 65 ¿Cómo se realiza el cociente de números complejos? ___________________________________ 66 ¿Cómo se representa un número complejo en forma polar? ______________________________ 67 ¿Cómo se transforma un complejo de forma polar a forma binómica? ______________________ 67 ¿Cómo se realizan la multiplicación y la división en forma polar? _________________________ 68 ¿Cómo se realiza la potencia de un número complejo en forma polar? ______________________ 69 ¿Cómo se realizan las raíces de un número complejo en forma polar? ______________________ 69 Expresiones algebraicas _______________________________________________ 71 ¿Qué es una expresión algebraica y cuál es su utilidad? _________________________________ 74 ¿Cuáles son los elementos básicos y las propiedades de las expresiones algebraicas? __________ 75 ¿Cómo se aplican las propiedades para simplificar una expresión algebraica? ________________ 76 ¿Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y algebraicas, y cómo puede saberse si son verdaderas o falsas? _____________________________________________________________ 77 ¿Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación? ____________________________ 78 ¿Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse ecuaciones equivalentes a una dada? _____________________________________________________________________________ 79 ¿En qué consiste la resolución de una ecuación? _______________________________________ 80 Ecuaciones de primer y segundo grado ___________________________________ 82 ¿Qué es una ecuación de primer grado, cuántas soluciones puede tener y de qué tipo son? ______ 85 ¿Qué debe hacerse antes de resolver una ecuación de primer grado con una incógnita? _________ 85 ¿Cuáles son los pasos de la resolución de una ecuación de primer grado? ___________________ 86 ¿Qué significa aislar la incógnita de una ecuación de primer grado? _______________________ 88 ¿Existe una fórmula para hallar la solución de una ecuación de primer grado? _______________ 89 ¿Cómo se expresa una ecuación de segundo grado con una incógnita en forma normal? ________ 89 ¿Cuáles son las ecuaciones de segundo grado fáciles de resolver? _________________________ 90 ¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado? ____________________________________ 91 ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado? ______________________________ 92 ¿Qué son las ecuaciones de tipo cuadrático y cómo se resuelven? _________________________ 93 ¿Qué es una inecuación y qué es una solución de una inecuación? _________________________ 94 ¿Qué es un intervalo? ____________________________________________________________ 94 ¿Cómo se resuelven las inecuaciones de primer y segundo grado? _________________________ 95 Sistemas de ecuaciones ________________________________________________ 97 ¿Qué es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y cuáles son sus soluciones? ___ 100 ¿En qué consiste el método de sustitución? __________________________________________ 101 ¿En qué consiste el método de igualación? __________________________________________ 101 ¿En qué consiste el método de reducción? ___________________________________________ 102 ¿Cómo se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas? ______________ 103 ¿Cómo se transforma un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss? ____________ 104 ¿Cómo saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones lineales transformado por el método de Gauss y cómo se encuentran? ____________________________________________ 105 ¿Cómo se aplica el método de Gauss en un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado? ____________________________________________________________________________ 107 ¿Cómo se aplica el método de Gauss en un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado? ________________________________________________________________ 108 ¿Qué es un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y cómo se resuelve? __________ 109 ¿Qué es un sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita y cómo se resuelve? __ 110 Los polinomios ______________________________________________________ 112 ¿Qué es un polinomio y cuáles son sus elementos? ____________________________________ 115 ¿Cómo se realizan las operaciones entre monomios? __________________________________ 116 ¿Cómo se realiza la suma y la resta de polinomios? ___________________________________ 116 ¿Cómo se realiza la multiplicación de polinomios? ____________________________________ 117 ¿Cómo se realiza la división de polinomios? _________________________________________ 118 ¿En qué consiste la regla de Ruffini? _______________________________________________ 120 ¿Qué es el valor numérico de un polinomio y la raíz de un polinomio, y cuál es su utilidad para la descomposición de polinomios? __________________________________________________ 121 ¿Qué es una fracción algebraica y cómo se operan? ___________________________________ 122 Matrices y determinantes ______________________________________________ 125 ¿Qué es una matriz y cuáles son sus elementos? ______________________________________ 129 ¿Cómo se realiza la suma y resta de matrices, y la multiplicación por un número? ___________ 130 ¿Cómo se realiza el producto de matrices? __________________________________________ 131 ¿Qué es el determinante de una matriz cuadrada y cuál es su utilidad? _____________________ 133 ¿Cuándo puede invertirse una matriz cuadrada y cómo se hace? _________________________ 135 ¿Cómo pueden utilizarse las matrices para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución? ____________________________________________________________________ 136 ¿Cómo se hallan las soluciones de un sistema expresado matricialmente? __________________ 137 ¿Cómo se utilizan las matrices para agilizar el método de Gauss? ________________________ 139 Elementos de la geometría plana _______________________________________ 140 ¿Cuáles son los elementos básicos del plano? ________________________________________ 144 ¿Cómo se miden los elementos básicos del plano? ____________________________________ 145 ¿Qué es una recta y cuál es su relación con los otros elementos básicos? ___________________ 146 ¿Qué es la mediatriz de un segmento y cómo se construye? _____________________________ 148 ¿Qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se construye? ________________________________ 149 ¿Cómo se representan los puntos del plano utilizando un sistema de representación cartesiano? _ 150 Las figuras planas ___________________________________________________ 152 ¿Qué es un polígono? ___________________________________________________________ 156 ¿Cuáles son las características básicas de un polígono? ________________________________ 157 ¿Cuáles son las características básicas de un polígono regular? __________________________ 158 ¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un polígono regular? _________________________ 159 ¿Cuáles son las características básicas de un cuadrilátero? ______________________________ 160 ¿Qué son la circunferencia y el círculo y cuáles son sus elementos básicos? ________________ 162 ¿Cuál es la relación de la circunferencia con los otros elementos del plano? ________________ 165 ¿Cómo se calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo? ___________________ 166 Los triángulos ______________________________________________________ 168 ¿Qué es un triángulo?___________________________________________________________ 172 ¿Cuáles son las rectas y los puntos notables de un triángulo y cómo se hallan? ______________ 172 ¿Cuáles son los principales tipos de triángulos? ______________________________________ 173 ¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un triángulo? _______________________________ 175 ¿En qué consiste el teorema de Pitágoras y cómo se aplica? _____________________________ 176 ¿Cuándo dos triángulos son semejantes? ____________________________________________ 177 ¿Cuáles son los criterios de semejanza de triángulos? __________________________________ 178 ¿Cómo comprobar si dos triángulos son semejantes? __________________________________ 179 Los vectores ________________________________________________________ 181 ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos? ______________________________________ 185 ¿Qué es un vector fijo del plano? __________________________________________________ 185 ¿Qué es un vector libre del plano? _________________________________________________ 186 ¿Cuáles son las operaciones básicas entre vectores? ___________________________________ 187 ¿Qué es la norma de un vector, y cómo se calcula? ____________________________________ 188 ¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores? ______________________________________ 189 ¿Cómo se representan los puntos y los vectores en el espacio? ___________________________ 191 Trigonometría ______________________________________________________ 192 ¿Cuáles son las razones trigonométricas de un ángulo agudo? ___________________________ 195 ¿Las razones trigonométricas de un ángulo dependen del triángulo rectángulo escogido? ______ 195 ¿Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 60o o p/3 rad? _______________ 196 ¿Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 45o o p/4 rad? _______________ 197 ¿Cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo con la calculadora? _______________ 198 ¿Cuál es la igualdad básica de la trigonometría? ______________________________________ 199 ¿Cómo se calculan las razones trigonométricas de cualquier ángulo? ______________________ 200 Las ecuaciones de los elementos geométricos _____________________________ 202 ¿Cómo se suma un vector a un punto del plano? ______________________________________ 206 ¿Qué son la ecuación paramétrica y la ecuación cartesiana de una recta, y cómo pueden hallarse? ____________________________________________________________________________ 207 ¿Qué son la ecuación explícita y la ecuación implícita de una recta, y cómo pueden hallarse? __ 208 ¿Qué información puede obtenerse de las ecuaciones de una recta? _______________________ 209 ¿Cuáles son las posibles relaciones entre un punto y una recta? __________________________ 210 ¿Cómo averiguar la relación entre dos rectas del plano a través de sus ecuaciones? ___________ 211 Elementos de geometría en el espacio ___________________________________ 213 ¿Cuáles son los elementos básicos de la geometría del espacio? __________________________ 217 ¿Cuáles son las posiciones relativas de los diversos elementos del espacio? ________________ 217 ¿Qué es y cómo se calcula el ángulo entre los elementos del espacio? _____________________ 219 ¿Cómo se expresan algebraicamente los elementos del espacio? _________________________ 220 ¿Cómo se expresan las posiciones relativas entre planos y rectas? ________________________ 221 El concepto de función _______________________________________________ 224 ¿Qué es una correspondencia entre conjuntos? _______________________________________ 227 ¿Qué es una aplicación? _________________________________________________________ 228 ¿Qué es una tabla de una función? _________________________________________________ 230 ¿Qué es la expresión de una función? ______________________________________________ 230 ¿Qué es la gráfica de una función? ________________________________________________ 231 ¿Qué operaciones pueden realizarse con funciones? ___________________________________ 234 Ejercicios_______________________________________________________________ 236 Soluciones ______________________________________________________________ 238 Las funciones polinómicas ____________________________________________ 239 ¿Qué es una función lineal y cuáles son sus características? _____________________________ 243 ¿Qué es una función afín y cuáles son sus características? ______________________________ 244 ¿Qué es una función cuadrática y cuáles son sus características? _________________________ 247 ¿Cómo se construye la gráfica de una función cuadrática? ______________________________ 248 ¿Qué relación existe entre la expresión de la función cuadrática y la parábola resultante? ______ 250 ¿Qué es una función polinómica y cuáles son sus características? ________________________ 251 Ejercicios_______________________________________________________________ 254 Soluciones ______________________________________________________________ 255 Las funciones exponencial y logarítmica _________________________________ 256 ¿Qué es una función exponencial y cuáles son sus características? ________________________ 261 ¿Qué es una ecuación exponencial y cómo se resuelve? ________________________________ 262 ¿Qué es la composición de funciones y la inversa de una función? ________________________ 263 ¿Qué es el logaritmo y cuáles son sus propiedades? ___________________________________ 264 ¿Qué son las funciones logaritmo y cuáles son sus características? _______________________ 265 ¿Cuál es la relación entre las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas? _________ 266 ¿Qué es una ecuación logarítmica y cómo se resuelve? _________________________________ 267 Ejercicios_______________________________________________________________ 269 Solucione _______________________________________________________________ 270 Las funciones trigonométricas _________________________________________ 272 ¿Qué es la función seno y cuáles son sus características? _______________________________ 277 ¿Qué es la función coseno y cuáles son sus características? _____________________________ 278 ¿Cuál es la relación entre la función seno y la función coseno? __________________________ 279 ¿Qué es la función tangente y cuáles son sus características? ____________________________ 279 ¿Qué es la función cotangente y cuáles son sus características? __________________________ 281 ¿Qué son las funciones secante y cosecante y cuáles son sus características? ________________ 283 ¿Cuáles son las funciones inversas de las funciones trigonométricas? _____________________ 285 Ejercicios_______________________________________________________________ 287 Soluciones ______________________________________________________________ 288 Límites de funciones _________________________________________________ 289 ¿Cuál es la noción intuitiva de límite funcional? ______________________________________ 293 ¿Cuál es el concepto riguroso de límite de una función en un punto? ______________________ 294 ¿Cuáles son las reglas principales para el cálculo de límites? ____________________________ 295 ¿Qué significa el límite cuando la variable tiende a +∞ o –∞? ___________________________ 296 ¿Qué son los limites laterales y los límites infinitos? __________________________________ 297 ¿Qué es una indeterminación, qué tipos de indeterminación existen y cómo se resuelven? _____ 299 Ejercicios_______________________________________________________________ 302 Soluciones ______________________________________________________________ 303 Funciones continuas _________________________________________________ 305 ¿Cuándo una función es continua en un punto? _______________________________________ 307 ¿Qué es una discontinuidad y cuáles son sus tipos? ____________________________________ 308 ¿Qué es una asíntota y cuántos tipos de asíntotas existen? ______________________________ 310 Ejercicios_______________________________________________________________ 312 Soluciones ______________________________________________________________ 313 Derivada de una función ______________________________________________ 315 ¿Qué es la derivada de una función en un punto y cuál es su interpretación? ________________ 318 ¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto en algunos monomios? ____________ 319 ¿Qué es la función derivada y cómo se calcula? ______________________________________ 320 ¿Cuáles son las reglas de la derivación? ____________________________________________ 321 ¿Qué relación existe entre la derivada de una función y el crecimiento de la misma? _________ 323 Ejercicios_______________________________________________________________ 325 Soluciones ______________________________________________________________ 326 Aplicaciones de la derivada ____________________________________________ 327 ¿Cómo localizar máximos y mínimos de una función utilizando su derivada? _______________ 330 ¿Cómo se resuelve un problema de máximos o mínimos utilizando la derivación? ___________ 332 ¿Qué es la concavidad y la convexidad de una función y qué relación tiene con la derivación? __ 334 ¿Qué información debe conocerse para representar aproximadamente la gráfica de una función? 336 Ejercicios_______________________________________________________________ 339 Soluciones ______________________________________________________________ 340 Integral de una función _______________________________________________ 344 ¿En qué consiste el proceso de integración de una función? _____________________________ 347 ¿Cuáles son las reglas de la integración y cómo influyen en el cálculo de primitivas? _________ 348 ¿Qué métodos pueden utilizarse para integrar una función? _____________________________ 349 ¿Qué es la integral definida de una función? _________________________________________ 351 ¿Cómo se calcula la integral definida a partir de una primitiva de la función? _______________ 353 ¿Cuál es el valor de esta suma n ∑ i 2 ? ______________________________________________ 354 i = 0 Ejercicios_______________________________________________________________ 356 Soluciones ______________________________________________________________ 357 Aplicaciones del cálculo integral _______________________________________ 359 ¿Cómo se calcula el área que encierra una función positiva con el eje X? __________________ 362 ¿Cómo se calcula el área que encierra una función negativa con el eje X? __________________ 363 ¿Cómo se calcula el área que encierra una función cualquiera con el eje X? ________________ 363 ¿Cómo se calcula el área que se encierra entre dos funciones en cierto intervalo? ____________ 365 ¿Cómo se calcula el volumen de una figura de revolución generada por una función positiva? __ 366 ¿Cómo se calcula la fórmula del volumen de las figuras de revolución básicas? _____________ 367 ¿Cómo se calcula el volumen de una figura de revolución generada por el área encerrada por dos funciones? ___________________________________________________________________ 369 Ejercicios_______________________________________________________________ 371 Soluciones ______________________________________________________________ 372 N2 - Dominar la matemática es imprescindible, tanto en sus contenidos como en su metodología, para introducirse en cualquier disciplina de carácter científico. Por ello, es necesario comprender algunas de las técnicas y conceptos básicos del álgebra lineal y el cálculo (muchas veces, ya tratados en secundaria y bachillerato) antes de afrontar los problemas habituales con que un ingeniero se enfrenta diariamente. La finalidad fundamental de la asignatura consiste, pues, en adquirir la terminología, las técnicas y los conceptos fundamentales del álgebra y el análisis matemático, y en posibilitar el uso práctico de los conceptos matemáticos estudiados. Los objetivos de este estudio se centran en: Conocer la teoría básica de conjuntos y, en particular, la del conjunto de los números. Manipular polinomios. Resolver ecuaciones e inecuaciones. Manipular matrices, calcular determinantes de matrices de dimensiones reducidas, resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables mediante el método de Gauss. Comprender el concepto de función real de variable real, conocer las características de las funciones elementales: polinómicas, trigonométricas (seno, coseno, tangente), exponenciales y logarítmicas. Comprender el concepto de límite, conocer sus propiedades y calcular límites aplicando las principales reglas de cálculo. Comprender el concepto de derivada y su interpretación geométrica, conocer sus propiedades y calcular derivadas aplicando sus reglas de cálculo. Calcular las funciones primitivas de las funciones elementales. Aplicar todos los conceptos anteriormente citados al planteamiento y análisis de problemas prácticos UR - https://openlibra.com/en/book/iniciacion-a-las-matematicas-para-la-ingenieria ER -